Regionalkursus - Region Syddanmark (Kolding)

Program

09:00 - 09:20 Kaffe, the og brød - Valg af workshop

09:20 - 10:20 Oplæg ved Tinne Hoff Kjeldsen, Professor ved Institut for Matematiske Fag, KU

Oplægget handler om, hvordan vores opfattelse af, hvad matematik er, har ændret sig over tid. Fokus vil være på matematik som videnskabsfag, og oplægget vil kredse om matematikkens historiske udvikling og spørgsmål som: Hvad går matematik ud på? Hvor "findes" matematikkens objekter henne? Hvordan får vi ny viden om dem? Hvilken status har matematisk viden? Hvor kommer ny matematik fra? Vi knytter an til matematikundervisningen og lægger op til diskussion af ræsonnement i matematik.

10:20 - 10:30 Pause

10:30 - 11:15 Oplæg om individuelle mundtlige eksamensspørgsmål ved Lektor Kasper Bjering Søby Jensen

Ræsonnement på C-, B- og A-niveau

- Udgangspunkt i rapporterne fra Matematiklærerforeningen

- Erfaringer fra afholdt eksamen

- Arbejde med ræsonnement i den daglige undervisning

11:15 - 12:00 Workshops ledet af forfattere til rapporterne om ræsonnement i eksamensspørgsmål (ved Kasper B.S. Jensen og Troels Johansen).

12:00 - 12:50 Frokost

12:50 - 13:15 Valg af regionalleder. Nyt fra Matematiklærerforeningen

13:15 - 14:45 Nyt fra fagkonsulenten (med indlagt kaffepause)

14:45 - 15:00 Evaluering af kurset - besvarelse af spørgeskema

Pris: 900 kr. Hver tredje tilmelding fra samme skole er gratis.

Kontakt: Regionalleder. Troels Todsen - tto@statsskole.dk

Ved spørgsmål ang. tilmelding kan sekretariatet kontaktes på lmfk@sekr.dk

Beskrivelse af workshops

I de tre workshops arbejder deltagerne i grupper på 3 - 4 personer.

Alle deltagere medbringer om muligt mundtlige eksamensspørgsmål til det niveau, de vil arbejde med. Medbring spørgsmålene i papirform eller elektronisk. Hvis man endnu ikke har haft eksamen på det pågældende niveau efter ny reform, tager man spørgsmål med fra den gamle reform.

Med udgangspunkt i pointerne fra oplægget laves en bred vifte af eksamensspørgsmål.

Man kan inden mødet orientere sig i rapporterne nedenfor:

- Ræsonnement ved mundtlig eksamen på B-niveau

- Ræsonnement ved mundtlig eksamen på A-niveau

Workshop

I gruppen skal I arbejde med eksamensspørgsmål eller forløbsbeskrivelser, der har fokus på det matematiske ræsonnement.

Under gruppearbejdet kan I med fordel benytte de nedenstående tomme skabeloner.

Eksemplerne med udfyldte skabeloner kan bruges til inspiration.

Jeres idéer behøver ikke blive færdigudviklet og alle felter udfyldt under workshoppen, men alle idéer er værdifulde, for de kan være en fremragende inspirationskilde for os alle.

Efter kurset samles gruppernes bidrag og deles med alle deltagere.

Eksamensspørgsmål - eksempel på udfyldt skabelon

Niveau: STX B, HF B

Emne: Polynomier og differentialregning

Spørgsmålet: Forklar om andengradspolynomiet, herunder forskrift, graf, toppunkt og rødder. Redegør for sammenhængen mellem koefficienterne i forskriften og grafens udseende.

Hvad skal eleven tale om?

Spørgsmålet inviterer eleven til først at give en bred introduktion til andengradspolynomiet som funktion, for herefter at gå særligt i dybden med sammenhængen mellem forskrift og graf. Undervisningsgrundlaget er altså emnet funktioner, herunder særligt andengradspolynomiet.

Under forklaringen kan eleven komme ind på forskriften og grafen for andengradspolynomiet. Her vil en introduktion til parablen som figur, herunder "toppunkt" og "parabelgrene" være en oplagt indgang. Også relevante formler bør præsenteres, f.eks. for toppunkt og nulpunkt(er).

Eleven kan også med fordel finde den afledede funktion.

Eleven bør her give en introduktion af sammenhængen mellem graf og forskrift, da det er disse sammenhænge der skal argumenteres for i den redegørende del.

I det centrale ræsonnement kan eleven starte med at bestemme f(0) = c og f'(0) = b og give en fortolkning af disse to værdier. Eleven kan evt. også komme ind på, at tangenten til (0, c) har ligning y = b * x + c. Eleven kan herefter tegne grafen for f og f'. Her vil eleven være nødt til at kunne ræsonnere over sammenhængen mellem graferne for f og f'. Herefter skal grafen for f' passe med forløbet af grafen for f. Der er grundlæggende to varianter afhængigt af, hvilken vej parabelgrenene på grafen for f peger.

I forklaringen af grafen for f' kan eleven trække på sin viden om lineære funktioner, herunder at funktionen har hældningstallet 2a. Viden om, hvorvidt 2a er positiv eller negativ, kan anvendes til argumentere for fortegnet for a afhængigt af udseendet af grafen f.

Det vil også være muligt for eleven at argumentere for betydningen af skæringspunktet mellem grafen for f og andenaksen, hvis eleven ikke fik beregnet f'(0).

Eleven har også mulighed for at diskutere diskriminanten, som bestemmes ud fra koefficienterne. Her har eleven mulighed for at tale om andengradsligninger og benytte teorien omkring løsning af disse til at tale om antallet af nulpunkter. Eleven kan også tale om bestemmelse af eventuelle nulpunkter.

Hvad kan man spørge eleven om? Evt. bilag (A-niveau)

For den stærkere elev vil dialogen kunne kredse om forløbene af f og f'. Hvor skal f' have nulpunkt - hvilket punkt på grafen for f har med dette nulpunkt at gøre? Hvad skal gælde om grafen for f', der hvor f er voksende/aftagende? Hvad betyder det for hældningen på grafen for f', og hvad fortæller denne hældning om værdien af a.

For den mindre svage elev kan dialogen måske i højere grad kredse om f'. Hvilken type funktion er det, og hvad ved man om den funktionstype? Hvad er symbolet for hældningen på dens graf? Hvad er dens skæring med andenaksen, og hvad fortæller det om grafen for f?

For den svage kan en dialog starte med konkret spørgsmål som "Tegn en parabel", "Skriv forskriften for et andengradspolynomium", "Find den aflede funktion", "Beregn f(0) og fortolk tallet", "Udpeg skæringspunktet med y-aksen og fortæl hvad x er i det punkt".

Som ideer til fortsat faglig dialog, når dialogen om selve spørgsmålet er afsluttet, kan nævnes:

- Hvad ville der ske, hvis vi tillod a = 0? Kan også stilles som et spørgsmål om førstegradspolynomier, herunder om samme analyse kan laves for disse.

- Hvad sker der, hvis b = 0?

- Hvad er sammenhængen mellem koefficienter og diskriminant? Hvad fortæller diskriminanten om forløbet af grafen for f. Hvorfor?

- Hvordan ser et tredjegradspolynomium ud? Hvad ved vi om den aflede for en sådan funktion? Kan vi lave en tilsvarende analyse for denne?

Evt. andre kommentarer eller relevante links

Beskrivelse af et forløb ved hjælp af FIMME - eksempel på udfyldt skabelon

Niveau: STX B, HF B

Emne: Polynomier og differentialregning

Formål: Træne ræsonnement. Kende til karakteristiske egenskaber ved og grafiske forløb for polynomier herunder at kunne oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse.

Indhold: Funktioner, herunder polynomier. Monotoniforhold og differentialregning.

Metode: Grafiske undersøgelser.

Materiale: Grundbog. Nspire.

Evaluering: Kan eleven gennemføre en funktionsundersøgelse? Kan eleven redegøre for konstanternes og diskriminantens betydning for parablens beliggenhed i koordinatsystemet? Kender eleven begrebet rod i et polynomium og sammenhængen mellem grad og antal rødder (nulpunkter) for polynomier? Kan eleven faktorisere et andengradspolynomien?